概率论是研究随机现象数学规律的数学分支,也是理工类、经管类开设的一门数学基础课。下面介绍概率论的起源。
在自然界和人类社会中,存在大量的随机想象。最普遍的是掷一枚硬币,可能出现正面,也可能出现反面。而在数学史上起重要作用的是掷骰子,对掷骰子所得点数得研究引起了概率论得研究。
中世纪末期,欧洲流行赌博,而且赌法复杂,赌注量大。一些职业赌徒为了获得取胜得机会,刻意寻求计算方法。最初得问题是求“点数”,例如,掷三个骰,出现9点与出现10点哪种可能性大?据说,伽利略曾解决过这类问题,用穷举法说明了掷三个骰子出现10点的可能性比出现9点的可能性要大(27:25)。
真正引发数学家研究概率理论的是“合理分配赌注问题”。1794年意大利数学家帕乔利首次记载了这一问题:假如在一次赌博中先赢6次为胜,两个赌徒在一个赢5次,另一个赢2次的情形下,赌博因故中断,那么总赌金应该如何分配才合理。帕乔利给出得答案是按5:2分给两个赌徒,似乎很合理。但若干年后,另一个数学家卡尔达诺重新研究这一问题时提出疑问。卡尔达诺指出,不能以已赌过得局数结果作为分配赌金得依据,而要考虑剩下未赌的局数。事实上,已经赢了5局的赌徒只需要再赢1局即可得到全部赌金,而另一个赌徒则需要连赢4局才能获得全部赌金。卡尔达诺分析:以后的赌博只有5种可能的结果,即第一个赌徒赢头一局、赢第二局、赢第三局、赢第四局或者完全输掉,他认为总赌金应按照(1+2+3+4):1=10:1的比例来分配才合理。卡尔达诺考虑问题的思路较帕乔利进了一步,但结论仍是错的。正确的答案是15:1,是100多年后由帕斯卡和费马得出的。
约1539年,卡尔达诺写成《掷骰游戏之书》,是现存最早的概率论专著。其中全面阐述了掷骰、打牌等游戏中的数学道理,得到相当于现在概率论中的幂定律、大数定律等一些基本命题。卡尔达诺一声著述颇丰,对许多问题有新颖见解,是第一个将数学理论应用于赌博研究的数学家之一。该论著在他生前没有发表,直到他去世近100年的1663年才被收入《卡尔达诺全集》在莱顿出版,因而它在概率论史上影响较小。卡尔达诺还在1570年的文章中讨论“人口死亡率”问题。另外,同时代的数学家塔而塔利亚也做过赌金分配的计算工作,知道掷骰时能得到一种点数的各种不同的组合。
1654年,法国一位叫梅雷的赌徒向他的朋友、数学家帕斯卡重新提出“合理分配赌金问题”,问题的表述更一般化:两个赌徒相约赌若干局,谁先赢局就得到全部赌金。现在一个人赢局,另一个人赢局,赌博终止,问赌金怎样分配才算合理?帕斯卡得到这一问题后立即告诉费马,他们之间从1654年7月开始频繁通信,展开有关概率论和组合数学的讨论。费马利用组合学理论解决了这一问题,帕斯卡利用算术方法也得到该问题的解。后来他们又各自将问题做了扩展,如三个赌徒的赌金分配问题等,达到更为完满的解答。他们在通信中建立了期望事件的概率,蕴涵了重伯努利试验的思想,引发了后人从事概率论研究的兴趣。通信中的一些结果收入3年后惠更斯的同类著作,而通信发表在1894年的《费马文集》中。
1657年,荷兰数学家惠更斯所著的《论赌博中的计算》在莱顿出版,是目前已知最早公开发表的概率论文献。它基于帕斯卡与费马之间的上述通信,解决了许多赌博中可能出现的有趣的实际问题,引进了“数学期望”概念,证明了:如果是一个人获得赌金的概率,是他获得赌金的概率,则他可以希望获得的赌金数为。该论著成为概率论出现之前的代表作,对概率论的建立有较大影响。